Entstehung eines Regenbogens

Die hier dargestellten geometrischen Überlegungen, die auf der Strahlenoptik beruhen,  wurden bereits 1637 von R. Descartes veröffentlicht. Detailliertere physikalische Beschreibungen, die die Wellennatur des Lichts berücksichtigen, wurden 1849 von Airy und 1908 von G.Mie formuliert.

Einleitung
Ein Regenbogen kommt zustande, wenn Sonnenlicht (oder das Licht einer anderen Lichtquelle) durch Regentropfen gebrochen wird. Dabei finden zwei Brechungen statt: wenn der Strahl in den Tropfen eintritt und wenn er ihn verlässt. Zwischen diesen Brechungen kann der Strahl einmal oder mehrmals an der Innenfläche des Tropfens reflektiert werden. Die Anzahl dieser Reflexionen bestimmt die Ordnung des entstandenen Regenbogens. Da bei jeder Reflexion auch Licht den Tropfen verlässt, nimmt die Intensität eines Regenbogens mit wachsender Ordnung schnell ab.
Da die Brechung von Licht von seiner Frequenz (und damit von seiner Farbe) abhängt, wird dabei weißes Licht in seine Bestandteile (die Regenbogenfarben) aufgespalten.  Das ist aber noch nicht hinreichend für die Entstehung eines Regenbogens. Wenn das Licht zwischen Eintritt in den Tropfen und dem Verlassen des Tropfens nicht reflektiert werden, überlagern sich die unterschiedlichen Bestandteile des weißen Lichts wieder zu weißem Licht. Erst durch die Reflexion(en) im Tropfen werden die Spektralfarben so getrennt, dass ein Regenbogen zustande kommt. Das soll in den folgenden Abschnitten untersucht werden.
Es gibt keinen Regenbogen 0. Ordnung:
In der Zeichnung bezeichnet e den einfallenden Strahl und g den gebrochenen Strahl. α bezeichnet den Einfallswinkel, β den Brechungswinkel. Wenn n der Brechungsindex des Wassertropfens ist, folgt aus dem Brechungsgesetz:
n·sin(β) = sin(α)
Für den Winkel δ, um den der gebrochene Strahl abgelenkt wird, gilt:
δ =2·(α-β)
Daraus ergibt sich folgende Abhängigkeit:
δ(α) =2·(α-arcsin(sin(α)/n))

0. Ordnung: Der Graph von δ (α) für n=1,33

Der Graph dieser Funktion zeigt, dass δ streng monoton mit α ansteigt. (Die Winkel sind hier im Bogenmaß angegeben). Da die Funktion keinen stationären Punkt besitzt, gibt es keinen Regenbogen 0. Ordnung. Die Lichterscheinung um die Sonne, die von diesen Strahlen erzeugt wird, wird auch als "Glow" bezeichnet.
Der Regenbogen 1. Ordnung (Hauptregenbogen).
Der Regenbogen entsteht durch eine interne Reflexion der Lichtstrahlen in den Wassertropfen.

Verlauf der Strahlen bei der Entstehung des Regenbogens 1. Ordnung. Die Strahlen wurden von einem blauen Laser erzeugt und von oben in einem mit Wasser gefüllten zylindrischen Glas fotografiert. Um den Strahlenverlauf sichtbar zu machen, enthält das Wasser Spuren eines Farbstoffs. Die Laserstrahlen sind außerhalb des Wassers nicht sichtbar und wurden nachgezeichnet. Der einfallende Strahl ist oben, der Regenbogenreflex unten zu sehen. Die grünlichen Bögen am Rand des Glases sind Reflexionen der floureszierenden Strahlen im Wasser. 
Der Einfallswinkel
α des Laserstrahls wurde so gewählt, dass der Ablenkwinkel δ möglichst groß war.

Geometrische Überlegungen zum Strahlverlauf in einem Regentropfen bei der Entstehung des Hauptregenbogens:
 
Der Winkel δ zwischen dem einfallenden Strahl e und dem reflektierten Strahl r ergibt sich aus der Winkelsumme des (konkaven) Vierecks ABCM:
 δ +2·α+2·γ=360°
Da für den Winkel γ gilt: γ=180- 2·β, erhält man  für die Funktion δ(α):
δ(α) = 4·β - 2·α.
δ(α) = 4·arcsin(sin(α)/n)- 2·α.

1. Ordnung: Der Graph von δ (α) für n=1,33

Der Graph dieser Funktion zeigt, dass δ(α) einen Hochpunkt besitzt. Dieser stationäre Punkt ist der Grund für den Regenbogen.
Für die α- und δ-Werte des Hochpunkts liefert die Rechnung:
Für n=1,33 sind das die Werte: α = 59.585 und δmax= 42,52°

Dispersionskurve für den Regenbogen 1. Ordnung: Bei kleinem n ist  δmax größer.
Rot liegt aussen.

 

"Regenbogen" 1. Ordnung, der mit einem Wasserglas und einer 3W LED Lampe produziert wurde. Der Regenbogenwinkel beträgt für Wasser (n=1,33) ca. 42°. Wegen der Brechung und Reflexion in der Wand des Glases ist ein zweiter , schwächerer Regenbogen zu sehen.

"Regenbogen" 1. Ordnung, der mit einer Glaskugel (r=2cm) und einer 3W LED Lampe produziert wurde. Der Regenbogenwinkel beträgt für Glas (n=1,5) ca. 23°

 
Der Regenbogen 2. Ordnung. (Nebenregenbogen)
Der Nebenregenbogen entsteht durch zwei interne Reflexionen der Lichtstrahlen in den Wassertropfen.

Verlauf der Strahlen bei der Entstehung des Regenbogens 2. Ordnung. Die Strahlen wurden von einem blauen Laser erzeugt und von oben in einem mit Wasser gefüllten zylindrischen Glas fotografiert. Um den Strahlenverlauf sichtbar zu machen, enthält das Wasser Spuren eines Farbstoffs. Die Laserstrahlen sind außerhalb des Wassers nicht sichtbar und wurden nachgezeichnet. Der einfallende Strahl kommt von links unten, der Regenbogenreflex 2. Ordnung ist unten, links der Mitte zu sehen. Die grünlichen Bögen am Rand des Glases sind Reflexionen der floureszierenden Strahlen im Wasser.
Der Einfallswinkel
α des Laserstrahls wurde so gewählt, dass der Ablenkwinkel δ minimal war.

Geometrische Überlegungen zum Strahlverlauf in einem Regentropfen bei der Entstehung des Nebenregenbogens:
Der Winkel δ zwischen dem einfallenden Strahl e und dem reflektierten Strahl r ergibt sich aus der Winkelsumme des Vierecks ABMC:
Es gilt:
δ+2·α'=360°, 
α
'=180°-α
ε
=360°-3·γ
γ
=180°- 2·β
Zusammengefasst:
δ = 2·α-6·β +180°

2. Ordnung: Der Graph von δ (α) für n=1,33

Der Graph dieser Funktion zeigt, dass δ(α) einen Tiefpunkt besitzt. Dieser stationäre Punkt ist der Grund für den Regenbogen 2.Ordnung.
Für die α- und δ-Werte des Tiefpunkts liefert die Rechnung:
Für n=1,33 sind das die Werte: α = 71,94° und δmin= 50.1°

Dispersionskurve für den Regenbogen 2. Ordnung: Bei kleinem n ist  δmax kleiner.
Rot liegt innen.

 

"Regenbogen" 2. Ordnung, der mit einem Glas Wasser und einer 3W LED Lampe produziert wurde. Der Regenbogenwinkel für die 2. Ordnung beträgt für Wasser (n=1,33) ca. 50°. 

"Regenbogen" 2. Ordnung, der mit einer Glaskugel und einer 3W LED Lampe produziert wurde. Der Regenbogenwinkel für die 2. Ordnung beträgt für Glas (n=1,5) ca. 87°

 
 
Der Regenbogen 3. Ordnung. (Es gibt nur wenige Beobachtungen in der Natur)
Dieser Nebenregenbogen entsteht durch drei interne Reflexionen der Lichtstrahlen in den Wassertropfen. 

Verlauf der Strahlen bei der Entstehung des Regenbogens 3. Ordnung.  Der einfallende Strahl ist oben, der Regenbogenreflex unten zu sehen. Neben dem eigentlichen Reflex sind einige schwächere Reflexe sichtbar, die durch interne Reflexionen in der Wand des Wasserglases entstehen. 
Der Einfallswinkel
α des Laserstrahls wurde so gewählt, dass der Ablenkwinkel δ minimal war.
Der Reflex ganz unten in der Mitte entspricht einem in der Natur nicht beobachtbaren Regenbogen 7. Ordnung. 

Geometrische Überlegungen zum Strahlverlauf in einem Regentropfen bei der Entstehung des Regenbogens 3. Ordnung:
 
Der Winkel δ zwischen dem einfallenden Strahl e und dem reflektierten Strahl r ergibt sich aus der Winkelsumme des Vierecks ABMC:
Es gilt:
δ+2·α'=360°, 
α
'=180°-α
ε
=360°-4·γ
γ
=180°- 2·β
Zusammengefasst:
δ = 2·α-8·β +360°

3. Ordnung: Der Graph von δ (α) für n=1,33

Der Graph dieser Funktion zeigt, dass δ(α) einen Tiefpunkt besitzt. Dieser stationäre Punkt ist der Grund für den Regenbogen 3.Ordnung.
Für die α- und δ-Werte des Tiefpunkts liefert die Rechnung:
Für n=1,33 sind das die Werte: α = 76,91° und δmin= 137,15°. Das entspricht einem Ablenkungswinkel δ' von 180°- 137,15° = 42,85°. Der Regenbogen 3. Ordnung müsste also in einem Kreis um die Sonne zu beobachten sein. Es ist anzunehmen, dass er praktisch immer vom direkten Sonnenlicht bzw. vom Glow überstrahlt wird. Andererseits müsste er auch bei hohem Sonnenstand und wenn die Sonne knapp unterhalb des Horizonts steht, zu beobachten sein. Trotz dieser schwierigen Bedingungen gibt es Aufnahmen von Regenbögen 3. Ordnung. Sie stammen von M. Großmann  und  von M. Theusner.

Dispersionskurve für den Regenbogen 3. Ordnung: Bei kleinem n ist  δmax kleiner, aber der Ergänzungswinkel δ' zu 180° ist größer.
Rot liegt aussen.

"Regenbogen" 3. Ordnung, der mit einem Glas Wasser und einer 3W LED Lampe produziert wurde. Der Regenbogenwinkel für die 3. Ordnung beträgt für Wasser (n=1,33) ca. 137°. Das sind 43° gegen die Blickrichtung zur Lichtquelle.

"Regenbogen" 3. Ordnung, der mit einer Glaskugel und einer 3W LED Lampe produziert wurde. Der Regenbogenwinkel für die 3. Ordnung beträgt für Glas (n=1,5) ca. 190°. Das ist fast die Vorwärtsrichtung (s. Skizze)

 
 

Wellenlänge in nm

Brechungsindex  n

Farbe

404

1.34351

Violett

450

1.34033

Blau

540

1.33538

Grün

589

1.33341

Gelb

660

1.33144

Rot

706

1.33073

Dunkelrot



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