Akustische Täuschungen:

Endlos steigende Tonfolgen


Akustische Täuschungen sind nicht so bekannt (und wohl auch nicht so spektakulär) wie optische Täuschungen. Die bekannteste akustische Täuschung dürfte die von dem amerikanischen Psychologen R. Shepard angegebene Tonfolge sein, die scheinbar ständig ansteigt, bei der aber in Wirklichkeit der letzte Ton mit dem ersten identisch ist. Mit einem geeigneten Computerprogramm kann man sie leicht erzeugen und dann mit Hilfe einer Soundkarte wiedergeben. Der Effekt ist hörenswert.

In seinem Buch "Goedel, Escher, Bach, ein endlos geflochtenes Band" (erschienen im Verlag Klett Cotta) gibt der Autor Douglas R. Hofstadter ein Rezept zur Konstruktion einer Shepard-Tonfolge an. Es ist in der folgenden Abbildung wiedergegeben.

Das Notenbild zeigt vier gleichzeitig gespielte Halbtonfolgen, die sich jeweils um eine Oktave voneinander unterscheiden. Alle Folgen erstrecken sich über eine Oktave. Das besondere an der Tonfolge sind die Lautstärken innerhalb der Einzelstimmen, die im Notenbild durch die Fläche der Notenköpfe symbolisiert sind:

Der Effekt dieser Konstruktionsvorschrift ist verblüffend: Obwohl ein Zuhörer den Eindruck gewinnt, daß die Tonfolge permanent ansteigt, ist der letzte Ton mit dem ersten identisch.

Die Lautstärken (genauer gesagt die Amplituden) der vier Stimmen. Am Anfang und am Ende der Tonfolge stehen identische Dreiklänge.

Es ist sicher ziemlich schwierig, die Shepard-Tonfolge auf einem Musikinstrument zu spielen. Aber mit Hilfe eines Computers, der mit einer Soundkarte ausgestattet ist, läßt sie sich ziemlich einfach erzeugen - vorausgesetzt man hat die geeignete Software. Hervorragend für diesen Zweck geeignet ist das Programm GOLDWAVE, das als Shareware unter dem Namen gwave322.zip von diversen FTP-Servern heruntergeladen werden kann. (Hier ist als Link der Server der Uni Bochum angegeben. Falls der Download nicht klappen sollte, kann man es natürlich auch woanders versuchen).

Der besondere Vorzug von GOLDWAVE ist sein Formeleditor: Man kann mit Hilfe einer taschenrechnerartigen Tastatur einen Funktionsterm in Abhängigkeit von der Zeit t eingeben, den GOLDWAVE dann in eine WAV-Datei umsetzt.

Die in der Abbildung als Noten dargestellten Vierklänge können durch die folgende Funktionsvorschrift erzeugt werden:

0.5*(0.5-m/24)*sin(2*pi*f*(1.0595^m)*t)+
0.5*(1-m/24)*sin(2*pi*f/2*(1.0595^m)*t)+
0.5*(0.5+m/24)*sin(2*pi*f/4*(1.0595^m)*t)+
0.5*m/24*sin(2*pi*f/8*(1.0595^m)*t)
Der Parameter m entspricht der Nummer des Tons in der Folge und nimmt nacheinander die Werte 0 - 12 an, und für die Frequenz f muß ein Wert genommen werden, den die verwendeten Lautsprecher und Samplingraten gut wiedergeben (z.B. f=1600 Hz). Wenn man auf diese Weise 13 Töne erzeugt hat, kann man daraus mit Hilfe der COPY-Funktion von GOLDWAVE die gesamte Tonfolge zusammensetzen.

Obwohl der angegebene Funktionsterm kompliziert aussieht, ist er bei näherem Hinsehen recht gut zu verstehen. Jede Zeile entspricht einer der vier Stimmen. Der Vorfaktor 0.5 ist so gewählt, daß die Gesamtamplitude den Wert 1 nicht übersteigt (das ist der größte Wert, den GOLDWAVE verarbeiten kann). Vor den sin-Funktionen stehen daher jeweils fallende bzw. steigende lineare Funktionen des Parameters m, die für das weiter oben beschriebene Verhalten der Amplituden bzw Lautstärken der Einzelstimmen sorgen. Schießlich stehen im Argument der sin-Funktionen die jeweils um eine Oktave unterschiedlichen Frequenzen, wobei der Faktor 1.0595^m dafür sorgt, daß die Frequenzen von Ton zu Ton um einen Halbtonschritt ansteigen. (1.0595 ist näherungsweise die 12. Wurzel von 2).

Da WAV-Dateien recht umfangreich sind, wurde hier darauf verzichtet, eine derartige Datei zum Herunterladen bereitzustellen. Stattdessen wurde ein kleines PASCAL-Programm entwickelt, das unter Verwendung der oben angegebenen Formel eine WAV-Datei für eine 13 Sekunden lange Shepard-Tonfolge erzeugt und so das etwas umständliche Verfahren mit GOLDWAVE vermeidet. Das Programm bietet zudem die Möglichkeit, die Tonfolge entweder (wie oben beschrieben) aus diskreten Schritten zusammenzusetzen, oder die Übergänge kontinuierlich zu machen. Es kann sowohl als Quellprogramm SHEP.PAS (ca. 2,5 KByte) für Turbo-Pascal oder als gepackte EXE-Datei SHEP.ZIP (ca. 14 KByte, ausführbar unter DOS) geladen werden.


Wer noch mehr über Shepard-Tonfolgen und vor allem ihre Anwendung im musikalischen Bereich wissen möchte, kann sich auf der sehens- (und hörenswerten) Wissenschaftsseite von Stefan Scheller informieren.

Weitere Informationen über akustische Täuschungen sind in einem Artikel von Diana Deutsch zu finden, der im Spektrum der Wissenschaft (Okt .1992, S. 82 ) erschienen ist.


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