Stabilität des Levitrons

Ein gekaufter Magnetschwebekreisel

Das Original-Levitron

 Ein selbst gebastelter Magnetschwebekreisel: Die Basis ist eine Magnetschüssel, wie sie in Baumärkten zur Aufbewahrung von Schrauben etc. verkauft wird. Der Kreisel ist ein kleiner Ringmagnet, der auf die Kunststoffachse eines Spielzeugmotors geklebt wurde

 

Die folgenden Überlegungen stützen sich auf eine Arbeit des Englischen Physikers M. Berry, die im Jahr 1996 veröffentlicht wurde (Berry, M V, 1996 Proc. R. Soc. A 452, 1207 - 1220). Diese Arbeit kann im Internet unter dem Link http://www.phy.bris.ac.uk/people/berry_mv/the_papers/Berry271.pdf eingesehen werden. Zwei Jahre zuvor (1994) waren die ersten Magnetschwebekreisel unter dem Namen Levitron verkauft worden. Arbeiten zum selben Thema, die im wesentlich zu identischen Folgerungen führen, stammen von M, Simon et. al (Am. J. Phys., Vol. 65, No. 4, April 1997) und T. B. Jones et.al. (J. Appl. Phys., Vol. 82, No. 2, 15 July 1997)

Es ist seit langem bekannt, dass eine statische Anordnung von Magneten nie zu einer stabilen Position führen kann, in der ein Magnet über einem entgegengesetzt gepolten zweiten Magneten schwebt. Das ist die Folge eines Naturgesetzes, das statische Magnetfelder erfüllen. Das Levitron wurde von einem amerikanischen Tüftler entwickelt und es wird berichtet, dass ihn viele Physiker auf die Aussichtslosigkeit seines Vorhabens hingewiesen haben. Dass es trotzdem stabil schwebende Magnetkreisel gibt, hängt offensichtlich mit der Rotation des Kreisels zusammen. Allerdings darf man sich nicht vorstellen, dass die Kreiselrotation nur dessen Umkippen verhindert. Auch ein stabil ausgerichteter Kreisel kann nach der Seite ausbrechen oder nach unten fallen. Um die Stabilität des Levitrons zu erklären, hat Berry angenommen, dass der Kreisel nicht um die Richtung der Schwerkraft, sondern um das Feld des Basismagneten präzediert. 

Berry ging davon aus, dass sich die potenzielle Energie des Kreisels folgendermaßen ausdrücken lässt:  Epot = m·g·z - µ·B(r,z)  mit r²=x²+y².
Dabei ist m die Masse des Kreisels, g die Gewichtsbeschleunigung und z die Höhe des Kreisels über dem Basismagneten. Der Term  m·g·z  ist also der übliche Ausdruck für die Hubenergie des Kreisels. Im zweiten Term ist B der Betrag des Magnetfeldes der Basis und µ ist die Projektion des Dipolmoments des Kreisels auf die Richtung des Magnetfeldes. Entscheidend für die Stabilität ist, dass sich diese Projektion bei der Bewegung des Kreisels nicht ändert. Das bedeutet, dass sich der Kreisel immer an der Richtung des B-Feldes ausrichten muss. Um zu verstehen, wie sich der Kreisel in einem stabilen Schwebezustand aufhalten kann, muss das Verhalten von Epot  im Raum untersucht werden. Das erfordert, dass man das räumliche Verhalten des Feldes B versteht.

Die Bestimmung des Potenzials

Da der Basismagnet ein Permanentmagnet ist, kann sein Feld aus einem skalaren Potenzial Φ hergeleitet werden.

Allerdings kann man selbst für eine einfache Form des Basismagneten wie eine Scheibe oder einen Ring das Potenzial Φ nicht durch einen einfachen analytischen Ausdruck darstellen. Da für die Untersuchung der Kreiselstabilität aber nur der Bereich um die Achse des Basismagneten relevant ist, kann man sich mit einer Näherung begnügen: Man berechnet Φ(r,z) nur für r=0 (also auf der z-Achse) exakt. In der Nähe der Achse (also für kleine Werte von r) nähert man Φ(r,z) durch eine Taylorreihe in r an, die nach dem quadratischen Term abgebrochen wird. Für eine Scheibe oder einen Ring ist das Potenzial zylindersymmetrisch. Berücksichtigt man, dass wegen der axialen Symmetrie die ersten Ableitungen des Potenzials Φ nach x und y verschwinden und die zweiten Ableitungen über die Laplacegleichung verknüpft sind, so lautet die gesuchte Taylorentwicklung um die z-Achse in zweiter Ordnung :

Die Berechnung von B

Potenzial und Feld einer magnetischen Scheibe

Für eine Scheibe mit dem Radius a und der homogenen Dipoldichte ρ kann man das magnetische Potenzial auf der senkrecht zur Scheibe verlaufenden Achse geschlossen berechnen. Es ergibt sich:

Im Weiteren wird eine Längenskalierung gewählt, bei der a=1 ist. Mit diesem Potenzial ergibt sich mit Hilfe der o.a. Näherungsformel für den Betrag des B-Feldes:


Das Gebirge der potenziellen Energie

OBdA kann man voraussetzen, dass die Magnetisierung des Basismagneten positiv ist, dass also ρ>0 gilt. Da der Kreisel nur schweben kann, wenn er entgegengesetzt gepolt ist, muss in diesem Fall sein magnetisches Moment µ<0 ist. 
Die folgenden Betrachtungen werden einfacher, wenn man die Gleichung für die potenzielle Energie durch das negative Produkt der Dipolmomente
-2·π·ρ·µ=2·π·ρ·|µ| dividiert:

Der explizite Ausdruck für das "Energie-Gebirge" ist dann:

Schwebezustand: Gleichgewicht und Stabilität

Der Kreisel kann nur schweben, wenn die sich Gewichtskraft und die magnetische Abstoßung gegenseitig kompensieren. Aus Symmetriegründen kann das nur auf der z-Achse der Fall sein. Damit kann man für die Gleichgewichtsbedingung auch schreiben:

Das bedeutet, dass es im vorliegenden Modell für jede Kombination von Kreiselmasse, magnetischem Moment und Stärke des Basismagneten eine Gleichgewichtshöhe z gibt. Für die Stabilität dieser Gleichgewichtslage gibt es zwei Bedingungen: 

1. Im E'-Gebirge muss der Faktor vor r² positiv sein. In diesem Fall ist E'(r) bei festem z (in der Umgebung der z-Achse) ein nach oben geöffnetes Paraboloid und der Kreisel kehrt bei einer horizontalen Auslenkung aus der Gleichgewichtslage in diese zurück. Das Vorzeichen von r² wird durch den Term (2-5·z²) bestimmt. Horizontale Stabilität liegt also vor, wenn 
2-5·z²>0 <=> z<√0,4 ≈ 0,632. z=√0,4  ist also die obere Grenze für die horizontale Stabilität. In größeren Höhen bricht der Kreisel nach der Seite aus. Das macht sich bemerkbar wenn er zu leicht ist. Dann steigt er zuerst in seine Gleichgewichtshöhe oberhalb dieser Grenze und driftet dann radial weg. Damit ist aber auch klar warum ein Kreisel nicht neben dem Basismagneten in Rotation versetzt und dann von oben eingeführt werden kann, Auf diesem Weg würde er immer durch die Zone horizontaler Instabilität geführt.

2. Stabilität in vertikaler Richtung erfordert, dass auf der z-Achse des E'-Gebirges ein Minimum liegen muss. Das bedeutet insbesondere, dass die zweite Ableitung von E'(0,z) nach z nicht negativ sein darf. Wegen

ist diese Bedingung nur erfüllt, wenn 4z²-1>0 gilt, d.h .z>½ gilt. z=½ ist also die untere Grenze der vertikalen Stabilität. 

Horizontale und vertikale Stabilität liegen also nur im Bereich 0,5<z<0,632 gleichzeitig vor. Bei einem Basismagneten von a=5 cm Radius kann der Kreisel also nur in einer Höhe zwischen  
2,5 cm und 3,2 cm schweben. (Verwendet man als Basis einen Ringmagneten, was das übliche ist, so liegt der Stabilitätsbereich in größerer Höhe.)

Ein Kreisel kann also stabil schweben, wenn für seinen Gewichts/Magnetkraft Quotient m' die Bedingung

mit einem z aus dem Stabilitätsbereich erfüllt ist. Setzt man die Grenzen dieses Bereichs ein, so ergibt sich, dass  m' zwischen m'(0.5)=0,858 und m'(√0,4 )=0,818 liegen muss. Das ist ein Spielraum von weniger als 5%. 

Stabilitätsbereiche im E'-Gebirge

Um die den Verlauf von E'(r,z) bzw. E'(x,y,z) graphisch darzustellen, würde man eigentlich einen 4D-Plot benötigen: Drei Richtungen für die Koordinaten x,y,z und eine für den Energiewert E'. Da das hier betrachtete B-Feld und damit auch E' zylindersymmetrisch ist, kann man die x-y Ebene in einer Dimension zusammenfassen. Der Verlauf von E' ist für alle Richtungen dieser Ebene derselbe. In den hier gezeigten 3D-Plots ist E' auf der senkrechten Achse aufgetragen. Die vertikale Raumrichtung z ist auf der perspektivisch von vorn nach hinten verlaufenden Achse aufgetragen und die dritte mit r bezeichnete Achse entspricht einer beliebigen Richtung in der x-y Ebene. Streng genommen ist die Bezeichnung r nicht korrekt, da im Plot auch negative r-Werte vorkommen, aber dadurch werden die Plots anschaulicher.

Die Mitte des Stabilitätsbereichs liegt bei z=0,57. Diesem Wert entspricht das Gewichtskraft/Magnetkraft-Verhältnis m'(0,57)=0.8463. Damit gilt 

3D-Plot der Funktion E'(r,z) für ein Gewichtskraft/Magnetkraft Verhältnis m'=0,8463. Das liegt etwa in der Mitte des m' Bereichs, in dem man einen Schwebezustand erreichen kann.


Der 3D Graph zeigt diese Funktion einmal von der Seite und einmal von oben. Um den Stabilitätsbereich hervorzuheben, ist noch die Ebene E' = 1.13894 eingezeichnet. An dem isolierten  "Energie-See" der sich im E'-Gebirge gebildet hat, kann man sehen, wo sich der Kreisel aufhalten kann, ohne nach der Seite oder in vertikale Richtung auszubrechen. Die Höhe der "See-Oberfläche" ist so gewählt, dass ein möglichst großer Teil des Stabilitätsbereichs zu sehen ist.

Es bedarf einiger Übung, einen Magnetkreisel zum Schweben zu bringen. Umso ärgerlicher ist es, wenn es misslingt, einen erfolgreichen Versuch zu wiederholen. Häufig liegt das daran, dass sich die Temperatur des Kreisels (z.B. durch häufiges Anfassen) etwas ändert. Bei Erwärmung schwächt sich das magnetische Dipolmoment des Kreisels etwas ab (lt einer Angabe in dem Artikel von M. Simon um ca. 0,2% pro Grad). Entsprechend erhöht sich der Wert von m'.
Im Folgenden ist der Stabilitätsbereich im E'-Gebirge für den Wert m'=0.858 gezeigt. Das ist fast der höchste Wert, bei dem es noch möglich ist, den Kreisel zum Schweben zu bringen. Der Kreisel ist gerade noch nicht zu schwer.

3D-Plot der Funktion E'(r,z) für ein Gewichtskraft/Magnetkraft Verhältnis m'=0,858. Das liegt am oberen Ende des m' Bereichs, in dem ein Schwebezustand möglich ist. Der Kreisel ist gerade noch nicht zu schwer.

Im Vergleich zum Fall von m'=0,8463 ist der Stabilitätsbereich sehr klein geworden. Um diesen Bereich besser sehen zu können, wird hier das r-Intervall zwischen -0,1 und 0,1 gezeigt. Der Verlauf von E' in der Umgebung des Stabilitätsbereichs zeigt, dass der Kreisel zwar nicht zur Seite ausbrechen kann, aber schon bei einer kleinen Störung nach unter fällt

Am anderen Ende des erlaubten m'-Bereichs liegt m'=0.8248. Bei diesem Wert ist die Gewichtskraft relativ klein gegen die Magnetkraft..

3D-Plot der Funktion E'(r,z) für ein Gewichtskraft/Magnetkraft Verhältnis m'=0,8248. Das liegt am unteren Ende des m' Bereichs, in dem ein Schwebezustand möglich ist. Der Kreisel ist gerade noch nicht zu leicht. Um den Stabilitäts-See sehen zu können, geht hier die Blickrichtung von großen zu kleinen z-Werten.

Der Verlauf von E' in der Umgebung des Stabilitätsbereichs zeigt, dass der Kreisel in vertikaler Richtung stabil ist, aber schon bei kleinen Störungen zur Seite ausbricht. Wenn das passiert, kann man (häufig erfolgreich) versuchen durch Anwärmen des Kreisels mit der Hand dessen magnetisches Moment etwas zu reduzieren und dadurch einen günstigeren Wert von m' zu erhalten.

Verwendet man für die Basis Ringmagnete, so werden die Terme für das Potenzial Φ und das Feld B wesentlich komplizierter, können aber mit einem Algebraprogramm immer noch gut verarbeitet werden. An den qualitativen Aussagen zur Kreiselstabilität ändert sich wenig. Für eine ringförmige Basis mit Außenradius a=1 und Innenradius b=¼ hat das "E'-Gebirge" und der Stabilitätssee für die für die optimale Wahl von m' ein ganz ähnlichen Aussehen wie beim Scheibenmagneten.

 

3D-Plot der Funktion E'(r,z) und Stabilitätsbereich für ein Gewichtskraft/Magnetkraft Verhältnis m'=0.3738 bei einem Ringmagneten.  Das ist in diesem Fall die optimale Wahl

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