Lösung der Oktaederaufgabe

a) Berechnung der Dicke des Oktaeders:
Konventionelle Lösung mit Hilfe der HNF: 

Mit Hilfe der bekannten Abstandsformel "Punkt-Ebene" erhält man unter Verwendung des berechneten Normalenvektors und des Differenzvektors zwischen C und B:

Das ist gerade 1/3 der Länge der Raumdiagonale des Würfels, in den der Oktaeder einbeschrieben ist.

Die Aufgabe a) kann auch mit elementargeometrischen Mitteln gelöst werden. :

Diese Figur entsteht, wenn man den Oktaeder auf eine Ebene projiziert, die durch S1 verläuft und senkrecht zu BC steht. Die in der Zeichnung angegebenen Punkte A' und B' sind die Projektionen der Oktaedereckpunkte A und B in diese Ebene.
a ist die Hälfte der Kantenlänge des Würfels und d ist die Hälfte der zu bestimmenden Dicke des Oktaeders. Die Kantenlänge des Oktaeders ist die Hälfte der Flächendiagonale des Würfels. Damit ist a/Ö2 die Länge der Strecke A'M.

Lösung mit Mitteln der Klasse 9:
Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras ergibt sich für die Länge von A'S1 der Wert Ö3·a/Ö2  . Die Länge von d ergibt sich, indem man den Flächeninhalt F des Dreiecks A'MS1 auf zwei Arten ausdrückt:

F = ½·a·a/Ö2 und F = ½·Ö3·a/Ö2·d 
=> d = 2·Ö3. Daraus folgt für die gesuchte Dicke der Wert 4·Ö3.

Lösung mit Mitteln der Klasse 10:
Eine zweite Möglichkeit, den Wert von d aus der obigen Zeichnung mit Methoden der Mittelstufe zu erhalten, bietet eine trigonometrische Überlegung:

tan(a)  = Ö2  => a = 54,73..°. 
sin(a) = d/(a/Ö2) => d= a/Ö2·sin(a) = 3,464.. »Ö3.


b) Bestimmung der Koordinaten von P6 und P8:
Den Ortsvektor von P6 erhält man, wenn man zum Ortsvektor von S1 den Differenzvektor von A nach B addiert. Wenn man den Differenzvektor von A nach B vom Ortsvektor von S1  subtrahiert, erhält man den Ortsvektor von P8.

Also: P6(11|9|7), P8(15|-7|11)

c) Nachweis eines Drehwinkels von 90°:
Aus der Aufgabenstellung geht bereits hervor, dass A durch eine Drehung um die Achse MAB MCD in A' überführt wird. Um den Drehwinkel zu berechnen, werden die Differenzvektoren zwischen MAB und A und zwischen MAB und A' berechnet und Skalarprodukt gebildet. Die Koordinaten von MAB sind die Mittelwerte der entsprechenden Koordinaten von A und B:

MAB(12|-1|2)


Da die Differenzvektoren senkrecht aufeinander stehen, liegt eine Drehung um 90° vor.

Die Drehachse verläuft durch den Mittelpunkt der Strecke AB. Somit erhält man den Ortsvektor des Bildpunktes B' von B, indem man den Differenzvektor zwischen A und A' vom Ortsvektor von B subtrahiert. Dies ergibt: B'(12 - 2·√2| - √2 - 1| 2 - 2·√2).

d) Untersuchung einer Ebenenschar, die den Oktaeder schneidet:
Die Gerade h verläuft auch durch den Mittelpunkt M(9| -1| 5) des Oktaeders, dessen Koordinaten man durch Mittelung der Koordinaten von A und C erhält. Für die Gleichung von h kann man also M als Antragspunkt und den Differenzvektor zwischen M und S1 als Richtungsvektor wählen:

Schreibt man die Gleichung von Ea in der Punkt-Normalenform, so lautet sie:

Setzt man den Term von h in die Gleichung von Ea ein, so erhält man den gesuchten Schnittpunkt Pa:



und damit Pa(13-4a|1-2a|9-4a). 

Berechnung des Volumens Va der abgeschnittenen Pyramide:

Der Differenzvektor von Pa nach S1 ist:

Das ist das a-fache des Differenzvektors zwischen M und  S1. Daraus folgt, dass die Höhe der abgeschnittenen Pyramide für a£1 a mal so groß ist wie die Höhe der Pyramide ABCDS1, also der (oberen) Hälfte des Oktaeders.  Da die abgeschnittene Pyramide ähnlich zur Pyramide ABCDS1 ist, gilt 

 Va= a³·V

wenn V das Volumen der Pyramide ABCDS1 ist. Für V gilt:

V=1/3·G·h

wobei G die Fläche des Quadrats ABCD und h die Höhe der Pyramide, also gleich der halben Kantenlänge des Würfels ist. Damit:

V=1/3·G·h

Die Kantenlänge des Grundquadrats (=Länge der Oktaederkanten) ist 6·Ö2 LE  da 6 die halbe Kantenlänge des umschließenden Würfels ist und die Pyramidenhöhe h ist 6 LE. Also

V= 1/3·(6·Ö2)²·6 LE³ = 144 LE³ und  Va= a³·144 LE³.

e) Beschreibung von Restkörpern:
Die Grundflächen der 6 abgeschnittenen Pyramiden sind Quadrate. Da 0<a £½ hat der jeweilige Restkörper 6 quadratische Seitenflächen.

1. Fall a=1/3 : Wie man aus der Skizze ersieht, sind die restlichen 8 Flächen Sechsecke. Da die abgeschnittenen Pyramiden ähnlich zur Grundpyramide sind, sind die Sechsecke regelmäßig.

 

2. Fall a=1/2 : Wie man aus der Skizze ersieht, sind die restlichen 8 Flächen Dreiecke. Da die abgeschnittenen Pyramiden ähnlich zur Grundpyramide sind, sind die Dreiecke regelmäßig. Der Restkörper heißt Kuboktaeder.